不等式で最小整数を使ったaの範囲の求め方と7≦6a-1<8の意味

中学生や高校生が数学の不等式を扱う際、最小の整数条件が加わると範囲の表現に悩むことがあります。今回は、3(x+2a)<4x+1の例を用いて、なぜ7≦6a-1<8となるのかを丁寧に解説します。

不等式を整理する

まず与えられた不等式3(x+2a)<4x+1を整理します。展開すると3x+6a<4x+1となります。両辺から3xを引くと6a6a-1となります。

最小の整数条件とは

問題では「xのうち最小の整数が8」と指定されています。これはxが整数で8以上であることを意味します。したがって、不等式x>6a-1の最小整数xが8になる条件を考えます。

なぜ7≦6a-1

x>6a-1の最小整数が8となるには、6a-1の値は8より小さく、8未満である必要があります。同時に、8が最小の整数であるためには、6a-1が7以上である必要があります。なぜなら、6a-1が7未満だと7も条件を満たしてしまい、8が最小整数にならないからです。したがって範囲は7≦6a-1<8となります。

6aの範囲に直す

この範囲からaを求めます。両辺に1を足すと8≦6a<9となり、両辺を6で割ると4/3≦a<3/2となります。これでaの範囲が求められました。

まとめ

まとめると、最小整数条件が加わると境界値の取り方が重要です。x>6a-1で最小整数が8になるためには、6a-1は7以上8未満に収まる必要があります。これを基にaの範囲を求めると4/3≦a<3/2となります。ポイントは、最小整数を決めるために上限を含めず下限を含む境界設定を理解することです。