この問題は、確率論の基本的な問題で、特に袋から球を取り出すという操作に関する確率を求める問題です。ここでは、赤球1個と白球2個が入った袋から球を取り出し、その結果に基づく確率を計算します。特に、(2)の問題について詳しく解説します。
問題設定
赤球1個と白球2個が入った袋から、球を1個取り出し、色を確認してから袋に戻す操作を4回繰り返します。この問題では、まず(1)の問題で「赤球を2回取り出す確率」を求め、次に(2)で「4回目の操作で3回目の白球を取り出す確率」を求めます。
(1) 赤球を2回取り出す確率
まず、赤球を取り出す確率は、赤球1個と白球2個の合計3個のうち1個が赤球ですので、確率は1/3です。白球を取り出す確率は、白球2個なので、確率は2/3です。
この問題は、4回の操作の中で2回赤球を取り出す確率を求めるものです。ここでは、二項分布を使用します。4回の操作の中で赤球を2回取り出す確率は、次のように計算できます。
確率 = (4回の操作の中で赤球を取り出す回数を選ぶ方法) × (赤球を取り出す確率) × (白球を取り出す確率) の積となります。
計算式は次の通りです：
確率 = C(4, 2) × (1/3)^2 × (2/3)^2
(2) 4回目の操作で3回目の白球を取り出す確率
次に、4回目の操作で3回目の白球を取り出す確率を求めます。この問題は、前の3回の操作で2回白球が取り出されており、4回目に白球が選ばれる確率を求めます。
まず、3回目までで2回白球が出ている必要があります。したがって、最初の3回で2回白球を取り出す確率は、次のように計算します。
確率 = C(3, 2) × (2/3)^2 × (1/3)^1
そして、4回目に白球を取り出す確率は2/3です。したがって、最終的な確率は、前述の確率に4回目の白球を取り出す確率を掛け合わせたものになります。
最終的な確率 = C(3, 2) × (2/3)^2 × (1/3)^1 × (2/3)
まとめ
この問題では、袋から球を取り出すという単純な操作が、確率論においてどのように解釈されるかを学びました。特に(2)の問題では、以前の操作の結果を踏まえて次の操作の確率を求めるという、条件付き確率の考え方を用いることが重要です。確率計算においては、二項分布や条件付き確率を適切に使用することが鍵となります。
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