偏微分方程式 Zxy + Zy = -y の解法と変数分離法の使い方

偏微分方程式 Z_{xy} + Z_y = -y の解法について、変数分離法を用いて中学生・高校生レベルでも理解できるように解説します。変数分離法は、関数を x と y に分けて考えることで方程式を簡単に解く方法です。

1. 方程式の整理

与えられた方程式は Z_{xy} + Z_y = -y です。ここで Z_y は Z の y による偏微分、Z_{xy} は x で微分した後 y で微分したものです。

まず Z_y を共通因子として整理すると。

Z_{xy} + Z_y = (Z_x)_y + Z_y = (Z_x + Z)_y = -y

変数分離法では Z(x,y) = X(x)Y(y) の形を仮定します。しかし今回は右辺が -y と y のみの関数なので、積分の形を考えるのが簡単です。

方程式 (Z_x + Z)_y = -y を y について積分します。

Z_x + Z = ∫(-y) dy = -y^2/2 + φ(x)

ここで φ(x) は x のみの関数で積分定数として導入します。

次に Z_x + Z = -y^2/2 + φ(x) という式を x に関して考えます。Z は Z(x,y) なので、この式は Z の x による常微分方程式と見なせます。

Z_x + Z = φ(x) – y^2/2

これは x に関して線形 ODE です。積分因子は e^x で、両辺に掛けると。

d/dx (Z e^x) = (φ(x) – y^2/2) e^x

両辺を x について積分すると。

Z(x,y) e^x = ∫ (φ(x) e^x) dx – (y^2/2) e^x + ψ(y)

ここで ψ(y) は y のみの任意関数です。

したがって一般解は。

Z(x,y) = e^{-x} ∫ (φ(x) e^x) dx – y^2/2 + e^{-x} ψ(y)

偏微分方程式 Z_{xy} + Z_y = -y は、まず y について積分して Z_x + Z = -y^2/2 + φ(x) と変形し、次に x に関して線形 ODE として解くことで一般解を求められます。変数分離法と積分因子を活用することで、複雑な偏微分方程式も順序立てて解けます。