円の直交截線の求め方とαを助変数とした曲線群の解説

今回扱う問題は、円の曲線群 x²+y²=α²（αを助変数とする）に対して、その直交截線を求める問題です。直交截線は、曲線に垂直に交わる線の集合として求められます。

1. 曲線の微分を求める

まず、曲線 x²+y²=α² を x で微分すると、2x + 2y(dy/dx) = 0 となります。

したがって傾きは dy/dx = -x/y です。

直交截線の傾きは、元の曲線の接線の傾きの逆数の負です。つまり、m = y/x となります。

点 (x₀,y₀) を通る直交截線の方程式は

y – y₀ = (y₀/x₀)(x – x₀)

です。ここで (x₀,y₀) は曲線上の任意の点で、x₀² + y₀² = α² を満たします。

α² = x₀² + y₀² を代入して、直交截線の族を求めることもできます。結果として直交截線の族は

y = (y₀/x₀)x + (y₀ – (y₀/x₀)x₀) = (y₀/x₀)x + 0 = (y₀/x₀)x

となります。したがって、直交截線は原点を通る直線族となります。

円 x²+y²=α² の直交截線は、原点を通る傾き y/x の直線族です。傾きは元の曲線上の点によって決まり、αは助変数として使われます。