曲線 y² = 4α(x + α) の直交截線の求め方

高校・大学初級で学ぶ曲線群の直交截線は、与えられた曲線群に垂直に交わる直線を求める方法です。今回は放物線 y² = 4α(x + α) を例に直交截線の求め方を解説します。

1. 曲線の微分係数を求める

曲線 y² = 4α(x + α) を x で微分します。両辺を x で微分すると:

2y(dy/dx) = 4α ⇒ dy/dx = 2α / y

これが曲線の接線の傾きです。

直交截線は接線に垂直なので、傾き m の直線が接線の傾き 2α/y と直角になる条件は:

m = -1 / (dy/dx) = -y / (2α)

直交截線は傾き -y/(2α) をもつ直線です。曲線上の点 (x₀, y₀) を通る場合、直線の方程式は:

y − y₀ = −(y₀ / (2α))(x − x₀)

助変数 α を用いて整理すると、直交截線の族の式を得られます。

手順としては、まず曲線の接線の傾きを求め、直交条件から直交截線の傾きを決定し、通る点を代入して直線方程式を得ます。y² = 4α(x + α) の場合、直交截線の傾きは -y/(2α) で、点 (x₀, y₀) を通る直線は y − y₀ = −(y₀ / (2α))(x − x₀) となります。