曲線 x² − y² = α² の直交截線の求め方と例

高校・大学初級で学ぶ曲線群の直交截線は、与えられた曲線群に直角で交わる直線を求める方法です。今回は曲線 x² − y² = α² を例に、直交截線を求める手順を解説します。

1. 曲線の微分係数を求める

まず曲線 x² − y² = α² を y について微分します。両辺を x で微分すると:

2x − 2y(dy/dx) = 0 ⇒ dy/dx = x/y

これが曲線の接線の傾きです。

直交截線は接線と垂直になるので、傾き m の直線が接線の傾き x/y と直角になる条件は:

m = -1/(dy/dx) = -y/x

直交截線は傾き -y/x をもつ直線です。点 (x₀, y₀) を通る直交截線は:

y − y₀ = −(y₀/x₀)(x − x₀)

また、パラメータ α を用いる場合、曲線上の点は x² − y² = α² なので、これを用いて整理すると直交截線の族の式が得られます。

手順としては、まず曲線の接線の傾きを求め、直交条件から直交截線の傾きを決定し、通る点を代入して直線方程式を得ます。曲線 x² − y² = α² の場合、直交截線の傾きは -y/x であり、点 (x₀, y₀) を通る直線は y − y₀ = −(y₀/x₀)(x − x₀) となります。