数Ⅰ：平方根の有理化のやり方を詳しく解説

高校数学でよく出てくる平方根の有理化について、特に分母が√を含む場合の操作を丁寧に解説します。今回は、分母が2√10のようなケースを中心に見ていきます。

分母に√がある分数を考える

例えば、次のような分数があるとします。

1/(2√10)

このままでは分母に平方根が残っているため、有理化を行います。分母の平方根を取り除くために、分母と分子に同じ√10を掛けます。

1/(2√10) × (√10/√10) = √10 / (2×10) = √10 / 20

これで分母は有理数になりました。

分母が (2√10 – 2√10) のように複雑な場合は、共役を使うのが一般的です。

例: 1/(a-b) の形の分母を有理化する場合、分母と分子に (a+b) を掛けます。

1/(2√10 – 2√10) × (2√10 + 2√10)/(2√10 + 2√10) = (2√10 + 2√10)/((2√10)² – (2√10)²)

このように、差の形の分母では二項式の差の積の公式を使うと分母を有理化できます。

分母が√を含む場合は、

ことで分母を有理数に変えることができます。分数の整理の基本を押さえておくと、複雑な式でもスムーズに有理化できます。