積分の計算方法：定積分∫_[α,β]√{(x-α)(β-x)}×1/xdxの解法

この問題は、定積分の計算において出てくる興味深い形の式です。問題では、積分の範囲が0 < α < βという条件下で、積分の式は次のように与えられています。

∫_[α,β]√{(x-α)(β-x)}×1/xdx

問題の理解と式の確認

まず、与えられた積分式は複雑に見えますが、計算手順に従っていけば求めることができます。式を見ていくと、積分する部分が2つの変数（αとβ）に依存しており、√{(x-α)(β-x)}の部分は、物理的に見ても意味がある形です。この積分式は、特定の物理現象を表すモデルとしても現れることがあります。

式は、(x-α)と(β-x)の積の平方根、さらに1/xが掛け算されているので、この形を簡単に解くためには積分変数の変換が有効です。

この積分を計算する際に有効な方法として、変数変換を行います。変数変換を行うことで、式がより簡単な形になります。まず、変数変換を行ってxに関する式を整理し、積分を分割します。具体的には、定積分の範囲を細かく分け、各部分をそれぞれ計算します。

また、問題の答えがπ/2×(√β-√α)^2となる理由も、この変数変換と積分範囲の処理に基づいています。計算の際、ここで使われる手法は、物理学でよく使われる積分手法に関連しています。

定積分の計算は、変数変換後の式を適切に計算することで解くことができます。最終的に、積分の結果がπ/2×(√β-√α)^2に収束することが確認できるはずです。この結果は、物理的な意味を持つ数式であり、特定の現象をモデル化する際に非常に有用です。

積分の計算で重要なのは、まず積分式を正しく理解し、その後に変数変換を行うことです。積分を解くための変数変換は、計算を簡単にし、最終的な解に繋がります。問題で求められている式がどのように導出されるかを理解することで、積分の解法に慣れることができます。