数学でよく出てくる最小公倍数（LCM）と最大公約数（GCD）は、数の性質を理解すると求め方が自然に分かります。ここでは、なぜその方法で求められるのか、また三つの数の最小公倍数を求める際の共通因数で割る理由について解説します。
最大公約数の求め方の理由
最大公約数は、共通して持っている因数の中で最も大きい数です。
例えば、12と18の最大公約数は、12 = 2² × 3、18 = 2 × 3² から共通因数 2 × 3 = 6 となります。
このように素因数分解を使うことで、共通している因数の積を取ることでGCDが求められます。
最小公倍数の求め方の理由
最小公倍数は、両方の数を割り切れる最小の数です。
例えば、12と18の最小公倍数は 2² × 3² = 36 です。
これは、両方の数に含まれる最大の指数の素因数を掛け合わせることで、どちらの数も割り切れる最小の数になるからです。
三つの数の最小公倍数を求める方法
三つ以上の数の最小公倍数を求める場合、二つずつのLCMを順に求める方法があります。
例えば、a, b, c の最小公倍数 LCM(a,b,c) は LCM(LCM(a,b), c) で求められます。
ここで「2数に共通因数があれば、その数で割る」という手順は、重複する因数をまとめることで効率的にLCMを求めるためです。
つまり、共通因数を除いた数同士の積に共通因数を掛け戻すと、最小公倍数が得られるのです。
まとめ
最大公約数と最小公倍数は、数の素因数に注目することで求められます。
三つの数のLCMを求めるときに共通因数で割るのは、重複した因数を整理して最小の倍数を効率的に計算するためです。
素因数分解や共通因数を意識することで、なぜその方法で求められるのかが理解できるようになります。
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