高校・大学初級レベルの対数の問題では、式の変形で見かけ上異なる形になっても、絶対値の取り扱いによって同値になる場合があります。ここでは、log|1-x^2| と log|x+1/x-1| の関係について解説します。
ステップ1：式を因数分解する
まず 1 – x^2 を因数分解すると、1 – x^2 = (1 – x)(1 + x) です。したがって、log|1-x^2| = log|(1-x)(1+x)| となります。
ステップ2：対数の性質を使う
対数の性質より、log|A*B| = log|A| + log|B| なので、log|(1-x)(1+x)| = log|1-x| + log|1+x| となります。
ステップ3：式の変形
一方、log|x+1/x-1| は分母と分子を x で割ると、log|1 + 1/x| – log|1 – 1/x| という形になります。ここで代入や置換を行えば、特定の範囲では log|1-x^2| と同値にできる場合があります。
注意点
ただし、同値にできるかどうかは定義域に依存します。x がどの値を取るかによって、絶対値の扱いが変わり、符号が反転する場合もあります。したがって、単純に右の式だけが正解というわけではありません。
まとめ
log|1-x^2| と log|x+1/x-1| は、式変形と定義域を考慮すれば同値となる場合があります。したがって、問題によっては左の式で回答しても、条件次第では正解とみなせることがあります。ただし、提出前に定義域や符号の確認を行うことが重要です。
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