群論におけるG/N ≅ G/M ならば N = M の証明

群論における部分集合に関する疑問について、特にG/N ≅ G/M ならば N = M という命題が正しいかどうかを考察します。この問題は、商群とその同型についての深い理解を求められるものです。

群論における商群とは

群論における商群G/Nとは、群Gをその部分群Nで割ったものです。商群は、Nに属する元を同じ元として扱い、Gの元をNの元で割った新たな群構造を形成します。この商群の構造を理解するためには、まず部分群とその商群の定義をしっかり把握する必要があります。

G/N ≅ G/Mというのは、商群G/NとG/Mが同型であることを意味します。すなわち、商群G/Nの構造とG/Mの構造が一対一対応するということです。このような同型が成り立つためには、商群を構成する部分群NとMが同一である必要があります。

もしG/N ≅ G/Mであれば、商群間には同型写像が存在します。これが意味するところは、NとMが異なる部分群であった場合、それぞれの商群の構造が異なるということです。したがって、同型が成り立つためには、部分群NとMが必ず一致する必要があります。

商群G/NとG/Mが同型であるならば、NとMは同じ部分群でなければならないという命題は正しいです。このことを確認するためには、同型写像の性質を利用して、部分群が異なるときに同型写像が成立しないことを示せばよいです。