大学数学でよく出る式 arcsinθ + arccosθ の値について、なぜ π/2 になるのかを丁寧に解説します。記号を置いて考えると理解が深まります。
1. 記号を置く
まず、arcsinθ = a と置きます。これにより、次の関係が成り立ちます。
sin a = θ
2. arccosθ を a の式に直す
三角関数の基本関係より、任意の角 a について。
cos(π/2 – a) = sin a
したがって、arccosθ は、θ = sin a = cos(π/2 – a) から。
arccosθ = π/2 – a
3. 合計を計算する
ここで、元の式を考えます。
arcsinθ + arccosθ = a + (π/2 – a) = π/2
よって、常に θ の値に依らず、結果は π/2 となります。
4. まとめ
ポイントは、arcsin と arccos が補角関係にあることです。
具体的には、arccosθ = π/2 – arcsinθ が成り立つため、両者を足すと常に π/2 になります。この考え方を覚えておくと、θ に関係なく計算できます。
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