y=(4x-1)/(2x-1)の逆関数と値域の求め方

今回は関数y = (4x-1)/(2x-1)（定義域1/2＜x≦3）の逆関数と値域を求める方法を解説します。分数関数の逆関数を求める際は、まずyとxを入れ替え、xについて解くことが基本です。

ステップ1：xとyを入れ替える

元の関数y=(4x-1)/(2x-1)を逆関数を求めるためにxとyを入れ替えます。

x = (4y-1)/(2y-1)

式を整理します。

x(2y-1) = 4y – 1 → 2xy – x = 4y – 1

yをまとめると。

2xy – 4y = x – 1 → y(2x – 4) = x – 1

よって。

y = (x – 1)/(2x – 4)

これにより逆関数は。

f⁻¹(x) = (x – 1)/(2x – 4)

となります。

元の関数の定義域は1/2＜x≦3なので、yの値域はf(x)の値を確認して求めます。x→1/2＋のとき。

f(1/2＋) ≈ (4*(1/2) – 1)/(2*(1/2) – 1) = (2 – 1)/(1 – 1) → ∞

x=3のとき。

f(3) = (12 – 1)/(6 – 1) = 11/5

よって値域は11/5 ≤ y < ∞ となります。

まとめると。