この問題では、手元のカードに書かれた数値に対して袋から引いたカードの操作を繰り返す確率を求めます。袋のカードは「2乗」1枚、「2倍」1枚、「3倍」2枚、合計4枚です。手元のカードは初めに2が書かれています。操作は引いたカードを袋に戻す方式で5回行います。
操作の基本と対象値の因数分解
手元のカードが144になるためには、初期値2に対して操作後の結果が144となる操作の組み合わせを考えます。144 = 2⁴ × 3² ですので、5回の操作で2の累乗と3の累乗を作る必要があります。
可能な操作と確率の組み合わせ
操作ごとのカードの効果は次の通りです：
- 2乗カード：x → x²
- 2倍カード：x → 2x
- 3倍カード：x → 3x
2乗カードは1回しか使用できますが、2倍カードと3倍カードはそれぞれ複数回使用可能です。これを順列組み合わせで考えます。
成功パターンの列挙
手元のカードが144になる操作のパターンを列挙します。初期値2から：
- 2 → 4（2倍）→ 8（2倍）→ 24（3倍）→ 72（3倍）→ 144（2倍）
- 2 → 4（2倍）→ 8（2倍）→ 24（3倍）→ 48（2倍）→ 144（3倍）
- 2 → 4（2倍）→ 12（3倍）→ 36（3倍）→ 72（2倍）→ 144（2乗）
- 2 → 4（2倍）→ 12（3倍）→ 36（3倍）→ 108（3倍）→ 144（不可能）
等の組み合わせを考慮し、144になるものを抽出します。
確率計算
各操作は独立で、袋に戻す方式なので確率はカードごとに固定：2乗カード 1/4、2倍カード 1/4、3倍カード 2/4=1/2。各パターンの操作確率を掛け合わせ、すべての成功パターンの確率を合計します。
まとめ
このようにして、手元のカードが5回目に144になる確率を求めることができます。具体的な数値は順列の全パターンを考慮して計算する必要がありますが、方法としては操作の効果を指数分解し、順列ごとの確率を掛け算して合計する形です。
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