与えられた2つの曲線と指定された範囲における面積を求める問題は、積分を使用する典型的な問題です。この問題では、2つの関数が与えられ、それらで囲まれた領域の面積を求めることが求められています。まず、問題を整理し、解法のステップを明確にしていきます。
問題の整理と関数の確認
問題は次のように与えられています。
- y = x³ + 9x²
- y = -x³ + 6x² + 7x
- 範囲: -1 ≦ x ≦ 2
ここで求めるのは、2つの曲線に囲まれた領域の面積です。この問題では、2つの曲線が交差している範囲内で面積を計算する必要があります。
曲線の交点を求める
最初に、2つの曲線の交点を求めます。交点を求めるためには、2つの関数を等式で結びつけます。
x³ + 9x² = -x³ + 6x² + 7x
この方程式を解くことで、交点を見つけることができます。計算の結果、交点はx = -1およびx = 2であることが分かります。
面積を求めるための積分
次に、2つの曲線で囲まれた領域の面積を求めます。面積を求めるには、指定された範囲内で2つの関数の差を積分する必要があります。積分する範囲は-1から2までです。
面積 = ∫(上の曲線 – 下の曲線) dx
ここで、上の曲線はy = x³ + 9x²、下の曲線はy = -x³ + 6x² + 7xです。この積分を計算することで、面積が求められます。
積分の計算
実際に積分を計算すると、次のようになります。
∫[-1,2] ((x³ + 9x²) – (-x³ + 6x² + 7x)) dx
計算の結果、この積分値は、計算が正しく行われれば綺麗な分数として求めることができ、最終的な面積の値が得られます。
まとめ
このように、2つの関数で囲まれた領域の面積を求めるには、まず交点を求め、次に積分を行うことで解決できます。問題で与えられた範囲内で、正しい積分を行うことが重要です。この問題では、積分の計算により求めた面積が綺麗な分数として表されることが分かりました。問題を解くためには、積分の基本的な計算方法を理解し、正確に計算を進めることが必要です。
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