高校数学1の不等式問題で、整数解が1つだけ存在する条件を求める方法について解説します。今回は、x^2-(3a+1)x+2a(a+1)≦0 の不等式を例に考えます。
問題の整理
与えられた不等式の解は x に関する二次不等式です。まず、解の範囲を求めると、x は a+1≦x≦2a となります。
整数解が1つだけの条件
整数解が1つだけ存在するためには、x の範囲 [a+1, 2a] に含まれる整数がちょうど1つである必要があります。
つまり、範囲の長さが 1 以上 2 未満になる a の値を求めることがポイントです。
具体的な計算方法
範囲の長さ L を考えます：L = 2a – (a+1) = a – 1。整数解が1つになるためには、範囲の長さ L がちょうど 1 以上 2 未満となる場合を考えます。
範囲に含まれる整数の位置を確認しながら、端点が整数でない場合や、端点が整数の場合の調整を行います。この調整により、a の値の条件は次のようになります。
- 3/2≦a<2 の場合
- 2
まとめ
整数解がちょうど1つ存在する条件は、a の値が 3/2≦a<2 または 2
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