1/(2x) の不定積分の求め方｜正しい対数表示と積分定数の解説

不定積分は微分の逆操作として関数を求める方法です。1/(2x) の不定積分についても、基本的な積分ルールを用いれば簡単に求めることができます。この記事では、1/(2x) の積分を正しく計算する方法と注意点を解説します。

基本的な対数積分の公式

次の公式はよく知られています：∫1/u du = ln|u| + C（Cは積分定数）。この公式を使えば、変数の係数がある場合も簡単に対応できます。

例えば、∫1/(ax) dx = (1/a) ln|ax| + C となります。

1/(2x) を ∫1/(2x) dx として積分します。まず定数 1/2 を外に出すことができます： ∫1/(2x) dx = (1/2) ∫1/x dx。

次に ∫1/x dx = ln|x| + C なので、結果は (1/2) ln|x| + C となります。

質問にある 1/2 ln|2x| + C も同様に正しい表示です。なぜなら ln|2x| = ln2 + ln|x| であり、積分定数 C に ln2 を含めることが可能だからです。

したがって、1/2 ln|2x| + C = 1/2 ln|x| + C’（C’ = C + 1/2 ln2）として書き換えられます。

1/(2x) の不定積分は、(1/2) ln|x| + C と書くのが標準的ですが、(1/2) ln|2x| + C と表記しても積分定数を調整すれば同じ意味になります。基本的には定数の取り扱いに注意すれば、どちらの形式でも正しい積分結果となります。