数学Ⅲの極限計算では、lim〇/x のように分母が0に近づくとき、与式がすぐに∞となる場合と、式を変形して分母を0にしない形で計算する必要がある場合があります。これらの違いを理解することは、極限の正しい評価に不可欠です。
分母が0になるとすぐに∞と判断できるケース
与式が lim_{x→0} 1/x のように、分子が有限の非ゼロ定数で分母だけが0に近づく場合、式の絶対値は無限大に発散します。
この場合、lim_{x→0+} 1/x = +∞、lim_{x→0-} 1/x = -∞ と符号に注意すれば、そのまま∞として扱えます。
分母を0にしないよう変形が必要なケース
式が lim_{x→0} (sin x)/x のように、分母が0に近づくが分子も0に近づく場合は、0/0の不定形になります。このままでは∞とは判断できません。
この場合は、展開や既知の極限 lim_{x→0} (sin x)/x = 1 の公式などを使い、0/0を解消する形に変形して評価します。
判断のポイント
極限で∞と判断できるかどうかのポイントは、分子と分母の挙動です。
・分子が非ゼロ定数、分母が0 → ∞
・分子も0に近づく、分母も0 → 変形して評価
つまり「不定形」か「定形」かを確認することが第一ステップです。
変形方法の例
1. 因数分解や有理化による形の整理
2. 三角関数の既知極限を利用
3. ロピタルの定理を適用（微分による極限）
例えば lim_{x→0} (1 – cos x)/x^2 = lim_{x→0} (2 sin^2(x/2))/x^2 = 1/2 となります。このように変形により0/0を消すことで正しい極限値が求められます。
まとめ
分母が0に近づく極限で、与式をすぐに∞とできるのは、分子が非ゼロ定数である場合です。一方、分子も0に近づく場合は、0/0の不定形となり、式を変形して評価する必要があります。
極限を正しく判断するためには、分子・分母の挙動を確認し、必要に応じて展開・既知極限・微分を用いて処理することが重要です。
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