R²の部分集合が有界閉集合であることの示し方：大学数学入門

大学数学では、集合の性質を正確に示すことが重要です。ここでは、R²の部分集合 S = {(x,y) ∈ R² | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} が有界閉集合であることを、初学者にもわかりやすく説明します。

集合が有界であることの確認

有界集合とは、すべての点がある有限の距離以内に収まる集合のことです。Sの場合、任意の点(x,y)に対して 0 ≤ x ≤ 1 および 0 ≤ y ≤ 1 です。

距離の上限を考えると、S内の任意の点 (x,y) は原点 (0,0) から距離 √(x²+y²) ≤ √2 に収まります。よって、Sは有界です。

閉集合とは、境界点をすべて含む集合のことです。Sの境界は x=0, x=1, y=0, y=1 の直線上にあります。これらの境界も S に含まれているので、極限点もすべて集合内に存在します。

例えば、S内の点列が S のある点に収束すると、その極限点も S に含まれます。したがって、Sは閉集合です。

以上から、Sはすべての点が有限距離に収まり、境界や極限点を含むため、有界かつ閉集合であることが確認できます。

有界性を確認する際は、集合内のすべての点がある距離以内にあるかを考えます。閉集合かどうかを確認する際は、境界点や極限点を含むかどうかをチェックします。

このように順序立てて確認することで、R²の部分集合が有界閉集合であることを正確に示せます。

R²の部分集合 S = {(x,y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} は、有界性と閉性の両方を確認することで、有界閉集合であることが示されます。距離の上限を設定して有界性を確認し、境界点や極限点を含むことを確認して閉性を示す手順を踏むと、初学者でも理解しやすくなります。