高校数学で解説する x² + y² = z² と z が 5 になる理由

ピタゴラスの定理 x² + y² = z² は、直角三角形の三辺の関係を表す有名な式です。本記事では、高校までの数学の範囲で、この式の成立の証明方法と、z が自然数になる場合に 5 となる例についてわかりやすく解説します。

ピタゴラスの定理の簡単な証明

直角三角形の辺を a, b, c とし、c を斜辺とします。正方形を使った幾何的な方法で a² + b² = c² が成り立つことを示せます。

具体的には、斜辺 c を一辺とする正方形を作り、そこに a と b を辺とする小さな正方形を並べて面積を比較する方法です。小さな正方形の面積の合計が大きな正方形の面積に等しいことから、a² + b² = c² が導かれます。

ピタゴラスの定理の解で、a, b, z が全て自然数となる組をピタゴラス数と呼びます。最も基本的な例のひとつが a=3, b=4, z=5 です。なぜ z が 5 になるのかを高校数学で説明できます。

式に代入すると、3² + 4² = 9 + 16 = 25 となり、√25 = 5 で z が自然数 5 になることがわかります。ここで a と b は小さい自然数の組み合わせとして選ばれています。

一般には、自然数 m > n を使って a = m² – n², b = 2mn, z = m² + n² とすると、a² + b² = z² が成り立ちます。これを使うと、様々な自然数解を生成可能です。

例えば m=2, n=1 を代入すると、a = 3, b = 4, z = 5 となり、先ほどの例と一致します。

直角三角形を描き、辺の長さ 3 と 4 の直角三角形を作ると、斜辺が 5 であることが簡単に確認できます。これにより、数値的にも幾何的にも z = 5 である理由が理解できます。

高校数学の範囲では、ピタゴラスの定理を正方形や面積を使った証明で示すことができます。また、自然数解として a=3, b=4 の場合に z=5 となる理由も、代入して計算するだけで明確になります。さらに一般式を用いれば、他のピタゴラス数も簡単に生成可能です。