多項式の余りの求め方: P(x)を(x-1)^2(x+2)で割った余りの解説

この問題では、P(x)という多項式を(x-1)^2で割った余りが4x-5であり、x+2で割った余りが-4であるという条件が与えられています。この条件からP(x)の余りを求める方法について解説します。

1. 多項式P(x)の表現方法

まず、P(x)を(x-1)^2(x+2)で割った時の商と余りの形を考えます。商をQ(x)とした場合、P(x)は次のように表すことができます：
P(x) = (x-1)^2(x+2)Q(x) + ax^2 + bx + c
ここで、ax^2 + bx + cはP(x)を(x-1)^2で割ったときの余り部分です。

2. 余りが与えられている条件を使う

次に、P(x)を(x-1)^2で割った時の余りが4x-5であるという条件を使います。この条件を代入すると、P(x)は次のように表されます：
P(x) = (x-1)^2(x+2)Q(x) + a(x-1)^2 + 4x – 5…(1)
ここでは、P(x)の余り部分にあたるax^2 + bx + cが(a(x-1)^2 + 4x – 5)に置き換わります。

3. なぜ式(1)を作るのか

式(1)を作ることで、P(x)をさらに簡単に扱えるようになります。まず、(x-1)^2を使って余りの部分を補完することで、余りの中身を具体的に求めることができ、最終的にP(x)を求めるための方程式が構築されます。

4. まとめ

この問題では、P(x)を(x-1)^2で割ったときの余りが4x-5であるという条件を使って、P(x)の一般的な式を求めました。式(1)を作ることで、P(x)の商と余りの関係を整理し、最終的に余りを求めるための方程式を得ることができました。このように、与えられた条件を利用して式を構築することが重要です。