コーシー・シュワルツの不等式は、積分を用いた形式でも非常に便利です。特に g(x)=1 を代入することで、区間 [a,b] における平均や面積との関係を示すことができます。本記事では、一般形から g(x)=1 を代入して証明する方法について詳しく解説します。
コーシー・シュワルツ不等式の積分版の一般形
連続関数 f(x), g(x) に対して、区間 [a,b] でのコーシー・シュワルツの積分版は次の通りです。
\[ \left| \int_a^b f(x) g(x) \, dx \right|^2 \le \int_a^b |f(x)|^2 \, dx \int_a^b |g(x)|^2 \, dx \]
これは、内積の性質に基づく不等式で、\(f\) と \(g\) の関係性を積分で表したものです。
g(x)=1 の場合の式変形
g(x)=1 を代入すると、右辺の積分は次のように簡略化されます。
\[ \int_a^b |g(x)|^2 dx = \int_a^b 1^2 dx = b – a \]
したがって、不等式は
\[ \left| \int_a^b f(x) \, dx \right|^2 \le (b-a) \int_a^b |f(x)|^2 \, dx \]
となります。これにより、積分版コーシー・シュワルツの簡略化が得られます。
証明の流れ
証明の手順は次の通りです。
- 一般形のコーシー・シュワルツ積分不等式を確認
- g(x)=1 を代入して右辺を計算
- 左辺の積分との関係を示す
この方法により、g(x)=1 の場合でもコーシー・シュワルツの不等式が成り立つことが明確に示されます。
具体例
例えば f(x)=x の場合、[0,1] で積分すると
\[ \left( \int_0^1 x dx \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \]
右辺は (b-a) ∫_0^1 x^2 dx = 1 * 1/3 = 1/3 となり、確かに 1/4 ≤ 1/3 が成立します。これにより、g(x)=1 の場合でも正しいことが確認できます。
まとめ
積分版のコーシー・シュワルツ不等式に g(x)=1 を代入する場合、右辺に (b-a) が現れ、簡略化された形で証明が可能です。一般形から代入して右辺を計算する手順が基本的な証明方法であり、具体例で確認することで理解が深まります。
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