与えられた条件「接線へ原点から下した垂線の長さが接点のx座標に等しい」を満たす曲線を求める問題は、微分を用いた解析幾何の典型例です。本記事では、この条件を式に変換し、微分方程式を解くことで曲線を求める手順を丁寧に解説します。
問題の条件を数式化する
曲線をy=f(x)とします。接点(x, y)における接線の傾きはf'(x)です。接線の方程式は、y – f(x) = f'(x)(X – x)と表せます。
原点(0,0)から接線への垂線の距離dは、直線の方程式から次の公式で求められます。
d = |f'(x)*0 – 1*0 + (f(x) – f'(x)*x)| / sqrt((f'(x))^2 + (-1)^2) = |f(x) – x f'(x)| / sqrt(1 + (f'(x))^2)
与えられた条件より、この距離dがxに等しいので、|f(x) – x f'(x)| / sqrt(1 + (f'(x))^2) = x となります。
微分方程式への変形
正の値を取ると仮定して、f(x) – x f'(x) = x sqrt(1 + (f'(x))^2) と書けます。この式をf'(x)について整理します。
ここから両辺を平方して整理すると、f'(x)の微分方程式が得られます。平方しても正負の分岐がありますが、曲線の形状に応じて適切な符号を選びます。
微分方程式の解法
微分方程式を整理すると、f'(x) = (f(x)^2 – x^2) / (2 x f(x)) のような形に変形可能です。ここで変数分離法や置換法を使うと積分可能な形になります。
例えば、y = x u(x) と置換すると、微分方程式がuについての方程式に変形され、積分によって一般解を求められます。
具体例と一般解
置換後の積分により、一般形として y^2 = 2 c x – x^2 という円や放物線を含む解が得られます。ここでcは積分定数です。
この一般形から、与えられた条件を満たす具体的な曲線を選びます。曲線の形状によって、x>0の範囲や接線の傾きの符号に注意する必要があります。
まとめ：条件から曲線を求める手順
条件を満たす曲線を求めるには、①接線の方程式と垂線の距離の公式を立てる、②与えられた条件を式に変換して微分方程式にする、③変数置換や分離積分で解く、④一般解から条件に合う曲線を選ぶ、というステップを踏むと整理して求められます。これにより、接線の垂線距離に関する条件から曲線を体系的に導くことが可能です。
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