x軸上の中心を持つ球の方程式の求め方

この問題では、中心がx軸上にある球の方程式を求める方法について解説します。球の方程式を求めるためには、球の中心と半径を知る必要がありますが、問題では与えられた2点からそれを計算します。ここでは、中心がx軸上にあるという条件に基づいて、与えられた2点（-1, 2, 1）と（3, 1, 0）を通る球の方程式を求める方法を紹介します。

1. 球の方程式の基本形

球の方程式は次のように表されます：
(x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2、ここで、(h, k, l) は球の中心の座標、r は半径です。問題では、中心がx軸上にあるため、l = 0となり、球の方程式は次のように簡略化されます：
(x - h)^2 + (y - k)^2 + z^2 = r^2。

2. 中心の座標の求め方

中心がx軸上にあるということは、k = 0であるため、球の中心は (h, 0, 0) です。これを元に、与えられた2点（-1, 2, 1）と（3, 1, 0）が球上の点であることを考えます。これらの点が球上にあるため、これらの点を球の方程式に代入することで中心hと半径rを求めることができます。

まず、（-1, 2, 1）を代入すると次の式が得られます：
(-1 - h)^2 + (2 - 0)^2 + (1 - 0)^2 = r^2。次に、（3, 1, 0）を代入すると、
(3 - h)^2 + (1 - 0)^2 + (0 - 0)^2 = r^2。これら2つの式を連立して解くことで、hとrを求めることができます。

3. 連立方程式を解く

それぞれの式を展開し、連立方程式を解いていきます。

最初の式：
(-1 - h)^2 + 2^2 + 1^2 = r^2
展開すると、
(h + 1)^2 + 4 + 1 = r^2
次に、2つ目の式：
(3 - h)^2 + 1^2 = r^2
展開すると、
(h - 3)^2 + 1 = r^2です。

4. 結果の求め方

これらの式を連立させて、最終的にhとrの値を求めます。これにより、球の方程式の具体的な形を求めることができます。具体的な計算手順については、代数を使って解くことで得られるでしょう。解の後に、再度球の方程式に代入して、最終的な答えを求めることができます。

まとめ

与えられた点から球の方程式を求めるためには、中心がx軸上にあることを考慮し、2点を代入して中心座標と半径を求めます。代数を用いた連立方程式の解法を使用することで、球の方程式が求められます。今回のような問題を解くことで、球の方程式に関する理解が深まります。