方程式 z^3 = 8i の解法

高校数Cの問題「z^3 = 8i」の解法について解説します。この問題は複素数の立方根を求める問題です。複素数の計算における重要なテクニックを学びましょう。

複素数の極形式

複素数を扱う際に有用な方法の1つが「極形式」です。複素数は、実部と虚部を使って表すことができますが、極形式では「r(cosθ + i sinθ)」の形に変換できます。ここでrは複素数の絶対値、θは偏角（または角度）です。

まず、8i を極形式に変換します。8iは、実部が0、虚部が8の複素数です。この複素数の絶対値rは8、偏角θはπ/2です。したがって、8iは「8(cos(π/2) + i sin(π/2))」として表せます。

次に、z^3 = 8i を解くために、z の立方根を求めます。複素数の立方根を求めるためには、次の公式を使います。

z = r^(1/3) * [cos((θ + 2kπ) / 3) + i sin((θ + 2kπ) / 3)]（k = 0, 1, 2）

ここで、r^(1/3)は絶対値の立方根で、θ + 2kπは偏角を3つの解に分けるための式です。kは0から2までの整数です。これを使ってzの3つの解を求めます。

r = 8の場合、r^(1/3) = 2となります。また、θ = π/2なので、解は次のように計算できます。

1つ目の解（k=0）：z = 2[cos(π/6) + i sin(π/6)]

2つ目の解（k=1）：z = 2[cos(5π/6) + i sin(5π/6)]

3つ目の解（k=2）：z = 2[cos(3π/2) + i sin(3π/2)]

このように、z^3 = 8i の解は3つの異なる複素数になります。複素数の立方根を求める際には、極形式を使って解く方法が非常に有効です。