√a^2 = a と √a^2 = -a の違いについて

数1の「数と式」の単元で、√a^2 = a と √a^2 = -a の公式が登場することがあります。これらの式は、条件に応じてどのように成り立つのか、またなぜ負の符号がつくのかを理解することが重要です。この記事では、これらの式の意味とその違いについて詳しく解説します。

√a^2 = a の式の理解
√a^2 = -a の場合
なぜ -a が付くのか？
まとめ：√a^2 の理解

√a^2 = a の式の理解

まず、a ≧ 0 の場合、√a^2 = a という式を見てみましょう。a が 0 以上のとき、a^2 は正の値となります。そのため、平方根を取ると、a 自身がそのまま結果となります。例えば、a = 3 の場合、√3^2 = 3 です。この場合、平方根を取ることで得られる値は正の値になります。

√a^2 = -a の場合

次に、a < 0 の場合について考えます。この場合、√a^2 = -a という式が成り立ちます。a が負の数であるとき、a^2 は正の値になりますが、√a^2 で得られる値は a の絶対値です。しかし、式では -a と表記されています。なぜなら、負の数 a に対して絶対値を取ると、結果は正の値になりますが、元々 a が負の値であったため、そのまま絶対値としてではなく、-a と表現することで、符号が反転するからです。

なぜ -a が付くのか？

この符号の違いは、実は「平方根」の定義に関係しています。平方根は通常、非負の値を取るものと定義されていますが、数学的に見ると、a^2 の平方根は |a| すなわち a の絶対値です。a が負の値の場合、√a^2 の結果は |a| となり、それが -a として表現されるのは、a が負であるためです。具体的に言うと、√a^2 = -a の形で表すことで、a の符号が反転した状態の絶対値が得られることになります。