x⁴-1の因数分解の解き方を詳しく解説

x⁴-1 の因数分解方法を理解することで、代数の基本的なスキルを向上させることができます。この記事では、この式の因数分解の手順とその理論的な背景について解説します。

x⁴-1の因数分解をするための基本的な考え方

x⁴-1 のような式は、差の平方という形で因数分解することができます。この場合、まず「差の平方」の公式を思い出しましょう。

差の平方の公式は、(a²-b²) = (a-b)(a+b) です。この公式を使うと、x⁴-1 も因数分解することができます。

x⁴ – 1 は、実は (x²)² – 1² と見ることができます。このように、x⁴ – 1 を平方の差の形に変換できます。したがって、(x²)² – 1² という形にすることで、差の平方の公式を適用できます。

この時点で式は (x² – 1)(x² + 1) に因数分解されます。

次に、x² – 1 をさらに因数分解します。x² – 1 も差の平方の形ですから、再び差の平方の公式を使います。

x² – 1 は (x – 1)(x + 1) に因数分解できます。これにより、全体の式は (x – 1)(x + 1)(x² + 1) となります。

したがって、x⁴ – 1 の因数分解は次のようになります。

(x – 1)(x + 1)(x² + 1)

このように、x⁴ – 1 は 3つの因数に分けることができました。

x⁴ – 1 は、まず差の平方の公式を使って (x² – 1)(x² + 1) に因数分解し、さらに (x² – 1) を (x – 1)(x + 1) に分解することで、最終的に (x – 1)(x + 1)(x² + 1) という形に因数分解できます。これにより、式が簡単な形に変わります。