数学の問題で、4桁の自然数が9で割り切れるときに、特定の数値を求める問題があります。特に「5a8b」という形の自然数が与えられたとき、この数が9で割り切れる条件を満たすaとbの値を求める問題がよく出題されます。この記事では、9で割り切れる数の特性を活用して、この問題をどのように解くかについて詳しく解説します。
9で割り切れる数の特徴
まず、9で割り切れる数にはある特性があります。それは「その数の各桁の数字の和が9の倍数である」ということです。例えば、数字1234の和は1+2+3+4=10ですが、10は9の倍数ではないため、1234は9で割り切れません。
この性質を利用することで、与えられた数が9で割り切れるかどうかを簡単に判断することができます。今回の問題でも、5a8bという数の各桁の和が9の倍数であれば、9で割り切れることがわかります。
「5a8b」という数の成り立ち
問題の4桁の自然数「5a8b」は、具体的には次のように表すことができます。
5a8b = 1000×5 + 100×a + 10×8 + b
ここで、aとbは0以上9以下の整数です。したがって、この数が9で割り切れるためには、各桁の和が9の倍数である必要があります。
問題文の解説：「5a8bが9で割り切れるときの条件」
問題文では、次のように述べられています。「5a8bが9で割り切れるとき、(5 + a + 8 + b)は9の倍数である。」
この式を使って、aとbの値を求めることができます。aとbは整数であり、0以上9以下の値を取ります。したがって、a + bの組み合わせをチェックして、(5 + a + 8 + b)が9の倍数となる組み合わせを見つけます。
具体例：aとbの値を求める
まず、式(5 + a + 8 + b)を簡単にすると、次のようになります。
5 + a + 8 + b = 13 + a + b
この式が9の倍数になるためには、a + bの値が9の倍数である必要があります。したがって、a + bは次のいずれかの値である必要があります。
- a + b = 5
- a + b = 14
これらの条件を満たすaとbの組み合わせを求めると、次のようになります。
- a + b = 5のとき、a = 0, b = 5 など。
- a + b = 14のとき、a = 6, b = 8 など。
解法のまとめ
したがって、問題の4桁の自然数5a8bが9で割り切れるための条件を満たすaとbの組み合わせは、a + bが5または14となる場合です。具体的な値としては、a = 0, b = 5やa = 6, b = 8などが考えられます。
このように、9で割り切れる数の特性を理解することで、問題を効率よく解くことができます。数学の問題を解くときには、このような特性や法則を活用することが重要です。
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