二次関数の問題は、関数の形と平行移動の知識をうまく活用することで、複雑な問題も論理的に解くことができます。今回は、グラフの平行移動と与えられた点から、関数の係数を求める方法を丁寧に解説します。
問題の設定を整理しよう
与えられた関数は y = 2x² + ax + b。この関数を x軸方向に+1、y軸方向に-2 平行移動したグラフが、点 (-1, 0) および (1, 0) を通るとされています。
つまり、平行移動後の関数はこれらの点を通るということです。この情報から、元の関数の係数 a, b を求めるのが今回の課題です。
平行移動の式を作ろう
関数 y = f(x) を x方向に +1、y方向に -2 平行移動すると、関数の式は次のように変化します。
y = f(x – 1) – 2
元の関数が f(x) = 2x² + ax + b のとき、平行移動後の関数は次のようになります。
y = 2(x – 1)² + a(x – 1) + b – 2
これを展開して整理しましょう。
- 2(x – 1)² = 2(x² – 2x + 1) = 2x² – 4x + 2
- a(x – 1) = ax – a
- 全体をまとめると：
y = (2x² – 4x + 2) + (ax – a) + b – 2
= 2x² + (a – 4)x + (b – a)
2つの点を代入して連立方程式を作成
この式に、平行移動後の関数が通る点 (-1, 0)、(1, 0) を代入して、連立方程式を立てます。
1. x = -1 のとき y = 0
0 = 2(-1)² + (a – 4)(-1) + (b – a)
0 = 2 – (a – 4) + (b – a)
0 = 2 – a + 4 + b – a
0 = 6 – 2a + b ……①
2. x = 1 のとき y = 0
0 = 2(1)² + (a – 4)(1) + (b – a)
0 = 2 + a – 4 + b – a
0 = -2 + b ……②
②より b = 2。これを①に代入して求めます。
① → 0 = 6 – 2a + 2 → -2a = -8 → a = 4
最終的な答え
この問題における二次関数の係数は以下の通りです。
- a = 4
- b = 2
したがって、元の関数は y = 2x² + 4x + 2 です。
まとめ：平行移動と代入による係数決定
今回の問題では、関数の平行移動の知識と、代入による連立方程式の解法がカギとなりました。関数を平行移動させるときは、xに「(x – 移動量)」を代入し、yには「±移動量」を加えるという手順を丁寧に踏みましょう。
与えられた点を使って代入することで、未知の係数を求める方程式が立てられます。しっかりと整理すれば難しくありません。今後の関数問題の応用にも役立つので、ぜひこの考え方を身につけておきましょう。
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