数学の分散に関する問題解説: Var(X+2Y) - E[X²]の解法

この質問では、XとYという2つの確率変数の分散と期待値が与えられている条件で、与えられた式「Var(X+2Y) – E[X²]」を求める問題について解説します。具体的にどのように計算するのか、手順を追って説明していきます。

1. 与えられた情報

まず、問題に与えられた条件を整理します。

これらの情報をもとに、求める式を計算していきます。

次に、「Var(X + 2Y)」を計算します。分散の性質により、以下の公式を使用します。

Var(aX + bY) = a²Var(X) + b²Var(Y) （XとYが独立な場合）

この式を使うと、次のように計算できます。

Var(X + 2Y) = Var(X) + 4Var(Y) = 5 + 4×2 = 5 + 8 = 13

次に、E[X²]を求めます。E[X²]は、次の公式を使用して求めることができます。

E[X²] = Var(X) + (E[X])²

したがって、E[X²]は次のように計算されます。

E[X²] = 5 + (-2)² = 5 + 4 = 9

最後に、求める式「Var(X + 2Y) – E[X²]」を計算します。

Var(X + 2Y) – E[X²] = 13 – 9 = 4

この問題では、分散の性質と期待値の計算方法を駆使して、最終的にVar(X + 2Y) – E[X²] = 4を求めることができました。分散の性質を理解し、計算の手順をしっかり踏むことで、問題を解くことができます。