この問題は、0から7までの数字が書かれたカードを並べたときに、特定の条件を満たす確率を求めるものです。具体的には、カードを1枚ずつ取り出して並べたとき、ある数字mのカードの左側にmより小さい数字のカードがm-1枚だけ並ぶ確率を求めます。この記事では、この問題をどう解くかをステップバイステップで説明します。
問題の理解と整理
問題の設定を簡潔に整理しましょう。カードには0から7の数字が書かれており、これらを元に戻すことなく1枚ずつ取り出して並べます。そして、数字mのカードに対して、その左側にmより小さいカードの枚数がm-1枚である確率を求めるのが目的です。
まず、条件を満たす場合が何通りあるのかを計算するために、並べ方の総数を考える必要があります。並べ方の総数は、カード8枚を並べる場合なので、8!（8の階乗）通りの並べ方があります。
確率を求める方法
次に、mのカードに対する条件を満たす並べ方を数えます。mのカードが並べられた位置において、その左側にmより小さい数字がm-1枚並ぶ必要があります。この条件を満たす並べ方が何通りあるかを求めることで、確率を算出することができます。
例えば、m=3の場合、mより小さい数字は0, 1, 2の3枚で、その3枚がmのカードの左側に正しく並ぶ必要があります。このような条件を満たす場合を数えるためには、残りのカードの並べ方を考える必要があります。
確率の計算と結果
この問題の鍵は、条件を満たす場合の数を全ての並べ方の数で割ることで確率を計算することです。まず、m=1の場合、mより小さいカードは0枚なので、この条件を満たす並べ方は1通りです。同様にm=2、m=3、…といった場合で、条件を満たす並べ方の数を計算し、それを8!で割ります。
計算を進めていくことで、各mに対する確率が求められます。実際に数を求めるためには、組み合わせを使って計算します。
関連する他の問題や大学での出題例
この問題は、確率の基本的な考え方を学ぶのに良い問題です。同様の問題が他の大学でも出題されており、問題のバリエーションや難易度が変わることがあります。特に、秋田大学医学部や他の大学の数学の入試問題で見かけることがあります。
出題年度や他大学での出題例については、過去の試験問題集や問題解説書を参考にすると良いでしょう。数学の問題は同じテーマで異なる数字や条件を使って出題されることが多いため、確率の計算方法をしっかりと理解しておくことが重要です。
まとめ
0から7までの数字が書かれたカードを並べる問題では、条件付き確率を求めるために、まず並べ方の総数を計算し、その後に条件を満たす並べ方を数えることが大切です。確率を求めるためには、組み合わせや順列を利用して、問題を段階的に解いていくことが重要です。
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