√n^2+6n+54が自然数になるnを求める方法

数学の問題で、√(n^2 + 6n + 54)が自然数になるときのnの値を求める問題があります。これは、式の中で平方根を含むため、少し工夫が必要です。この記事では、この問題の解き方をステップバイステップで解説します。

問題の整理と式の変形

問題は、√(n^2 + 6n + 54)が自然数になるようなnを求めるというものです。まず、式の中身であるn^2 + 6n + 54を工夫して変形してみましょう。

まず、n^2 + 6nという部分を完全平方にします。n^2 + 6nは、(n + 3)^2に等しいことがわかります。このため、式は次のように変形できます。

√(n^2 + 6n + 54) = √((n + 3)^2 + 45)

次に、√((n + 3)^2 + 45)が自然数であるためには、(n + 3)^2 + 45が平方数でなければなりません。つまり、(n + 3)^2 + 45 = m^2となるようなmを求めることが必要です。

これを変形すると、m^2 – (n + 3)^2 = 45となり、これは差の平方の公式を使って次のように書き換えることができます。

(m – (n + 3))(m + (n + 3)) = 45

次に、45を因数分解して、m – (n + 3)とm + (n + 3)に対応する因数の組み合わせを考えます。45の因数は1, 3, 5, 9, 15, 45です。

それぞれの因数に対して、m – (n + 3)とm + (n + 3)を求め、それらが整数となるようにnを計算します。これによって、nの可能な値を求めることができます。

実際に計算してみると、いくつかの組み合わせから有効なnの値が得られます。例えば、m – (n + 3) = 1とm + (n + 3) = 45の場合、m = 23とn + 3 = 22となり、n = 19が得られます。他にも、異なる組み合わせを試すことで、他の解を見つけることができます。

このようにして、自然数nの値を求めることができます。

√(n^2 + 6n + 54)が自然数になるnの値を求めるには、式の変形と因数分解を利用し、平方数となるような条件を満たすnを計算します。ステップごとに問題を整理し、適切に計算を進めることで、nの値を見つけることができます。