方程式「2(k-1)x² + 2(k+3)x + k+6」の実数解が1つだけであるような定数kの値を求める問題について解説します。実数解がただ1つであるためには、判別式が0である必要があり、この条件を基にkの値を求める方法を説明します。
問題の整理と方程式の構成
与えられた方程式は2次方程式で、一般的な形「ax² + bx + c = 0」に合わせると、a、b、cはそれぞれ「2(k-1)」、「2(k+3)」、「k+6」になります。
したがって、方程式を次のように書き換えます。
2(k-1)x² + 2(k+3)x + k+6 = 0
ここで、この2次方程式が実数解を1つだけ持つためには、判別式Δが0でなければなりません。判別式は次のように計算されます。
Δ = b² - 4ac
これにより、実数解が1つだけである条件を求めることができます。
判別式を0にするための条件
判別式を求めるために、a、b、cの値を代入していきます。
a = 2(k-1), b = 2(k+3), c = k+6
判別式Δを計算すると、次のようになります。
Δ = [2(k+3)]² - 4[2(k-1)](k+6)
これを展開して整理すると、次の式が得られます。
Δ = 4(k+3)² - 8(k-1)(k+6)
ここから、さらに式を展開して整理し、最終的にΔ = 0となるようなkの値を求めます。
kの値を求める
判別式Δを0とおくと、以下のような方程式になります。
4(k+3)² - 8(k-1)(k+6) = 0
これを展開して解くと、kの値を求めることができます。計算の途中で、kの値が求められます。
なぜk-1=0で場合分けをするのか？
問題文で「k-1=0」と置いた理由は、最高次の係数aが0になる場合を考慮するためです。もしk=1であれば、aが0となり、2次方程式ではなく1次方程式になってしまいます。この場合、解が1つになるという条件に合わないため、k=1は除外します。
したがって、k-1=0の場合とそれ以外の場合を場合分けして考えることで、解が1つだけである条件を適切に求めることができるのです。
まとめ
「2(k-1)x² + 2(k+3)x + k+6」の実数解がただ1つであるような定数kの値を求めるには、判別式が0である条件を満たすkの値を求めます。この際、最高次の係数が0になる場合は除外する必要があり、そのために場合分けを行います。
最終的に、kの値が求められ、実数解が1つだけである条件が証明されます。
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