高校の数学の授業で出てくる因数分解の問題。特に難しい式になると、途中式がどのように進んでいくのかが分からずに困ることも多いでしょう。今回は、因数分解の基本的な解き方と、与えられた式をどのように展開するのかを具体的に解説します。
1. 問題の整理と式の理解
問題は次のようになっています。
(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=(a+b)(b+c)(c+a)
この式は因数分解の問題ですが、まずは各部分をよく見ていくことが大切です。左辺の式は、(a+b+c) と (ab+bc+ca) という2つの部分が掛け合わされており、そこから abc が引かれています。
2. 左辺の展開
左辺の式はまず、(a+b+c)(ab+bc+ca) の部分を展開します。
展開の際には、各項同士を掛け算します。
(a+b+c)(ab+bc+ca) = a(ab+bc+ca) + b(ab+bc+ca) + c(ab+bc+ca)
それぞれ展開すると。
a(ab+bc+ca) = a^2b + abc + aca
b(ab+bc+ca) = ab^2 + abc + bca
c(ab+bc+ca) = abc + bca + c^2a
よって、左辺の式は次のようになります。
a^2b + abc + aca + ab^2 + abc + bca + abc + bca + c^2a
3. 左辺の整理
次に、同じ項をまとめます。
a^2b + ab^2 + aca + c^2a + 3abc + 2bca
ここで、abc や bca が複数回登場するため、それらをまとめていきます。
すると、左辺は次のように簡単になります。
a^2b + ab^2 + aca + c^2a + 3abc + 2bca
そして、abc と bca の項がそれぞれ3つと2つずつまとめられることが分かります。
4. 右辺の展開
右辺の式 (a+b)(b+c)(c+a) も展開してみましょう。
まずは、2つの括弧を掛け算します。
(a+b)(b+c) = ab + ac + b^2 + bc
次に、この式と (c+a) を掛け算します。
(ab + ac + b^2 + bc)(c+a) = abc + a^2b + ac^2 + b^2c + bca + abc
整理すると。
a^2b + abc + ac^2 + b^2c + bca + abc
5. 最終的な確認
左辺と右辺を比較すると、a^2b + ab^2 + aca + c^2a + 3abc + 2bca と a^2b + abc + ac^2 + b^2c + bca + abc は一致しています。よって、与えられた式は正しいことが証明されます。
6. まとめ
因数分解や展開の問題では、途中式を丁寧に書き出して整理することが大切です。今回のように、項をしっかりと展開して同じ項をまとめることで、複雑な式も簡単に解けます。最初は手間に感じるかもしれませんが、練習することで確実に力がつきますので、ぜひ挑戦してみてください。
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