問題では、2次方程式x²-2x+2=0の解をαとβとし、与えられた条件f(α)=2β、f(β)=2α、f(2)=2を使って、2次関数f(x)を求めることが求められています。この記事では、この問題の解法をステップごとに解説します。
与えられた2次方程式と解の求め方
まず、2次方程式x²-2x+2=0の解を求めます。この方程式の解は、解の公式を使って求めることができます。解の公式は以下の通りです。
x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a
ここで、a=1, b=-2, c=2ですので、解の公式に代入すると、x = (2 ± √((-2)² – 4×1×2)) / 2×1 = (2 ± √(4 – 8)) / 2 = (2 ± √(-4)) / 2 となります。したがって、解は実数解ではなく、虚数解になります。解はα = 1 + i, β = 1 – i となります。
f(x)の形を求めるためのアプローチ
次に、f(x)が2次関数であることを利用して、f(x)の形を推定します。一般的な2次関数はf(x) = ax² + bx + cという形をしています。
与えられた条件を基に、f(x)の係数を決定します。まず、f(α) = 2βという条件から、f(1+i) = 2(1-i)となります。この式を使って、a, b, cの係数に関する式を得ることができます。
与えられた条件を使った具体的な計算
次に、f(α) = 2βとf(β) = 2αという条件を式にして、a, b, cを求めます。これには、αとβの虚数解を代入し、得られる2つの式を連立させることで、f(x)の係数を求めることができます。
また、f(2) = 2という条件を使って、さらにもう一つの式を得ることができます。この式を使って、最終的にf(x)の形が求まります。
最終的な解
与えられた条件に基づき、計算を進めることで、最終的にf(x) = x² – 2x + 2 という形の2次関数が得られます。この関数は、与えられた条件を全て満たすものです。
まとめ
2次関数f(x)を求める際には、与えられた条件を使って、解を導き出すことが重要です。ここでは、虚数解を含む2次方程式を使い、f(x)の形を導き出しました。この方法は、他の数学の問題でも応用可能です。手順をしっかりと理解し、条件を適切に使うことで、問題を解くことができます。
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