条件付き確率の問題解説：赤球と白球を含む中で黒球が含まれる確率を求める方法

条件付き確率の問題で、「袋の中に赤球が4個、白球が4個、黒球が1個、合計9個の球が入っている。取り出した3個の中に赤球も白球も含まれているとき、黒球が含まれている条件付き確率を求めなさい」という問題が出題されています。この記事では、その問題を解く方法を解説し、間違いやすい点についても説明します。

条件付き確率とは

条件付き確率とは、ある事象が起こったときに別の事象が起こる確率を求めるものです。式で表すと、P(A|B) = P(A and B) / P(B)となります。ここで、P(A|B)はBが起きた後にAが起こる確率、P(A and B)はAとBが両方起きる確率、P(B)はBが起きる確率を意味します。

問題では、赤球4個、白球4個、黒球1個が袋に入っており、3個の球を取り出したとき、赤球と白球が含まれている場合に、黒球が含まれている確率を求めます。この場合、赤球と白球のどちらも含まれているという条件があるため、その条件に基づいて確率を求める必要があります。

まず、赤球と白球を含む場合に黒球が含まれる確率を求めます。取り出した3個の中に赤球と白球が必ず含まれている条件では、残り1つの球は赤球または白球以外、つまり黒球である必要があります。したがって、この場合の総数と黒球が含まれる場合の確率を計算します。

総数は、赤球と白球が含まれる場合の組み合わせを求め、その中で黒球を含む組み合わせを求めます。正しい計算式は、P(黒球|赤球・白球) = P(黒球 and 赤球・白球) / P(赤球・白球) です。具体的には、黒球が含まれる場合の確率は1/4です。

質問者が行った計算方法では、黒球を含む確率として「1C1 / 7C1」のように計算していますが、この方法では条件付き確率の原則に従っていないため誤った解法となります。実際には、赤球と白球の条件を適切に考慮し、その後で黒球が含まれる確率を求める必要があります。

条件付き確率を求める際は、まず問題の条件に合った事象を明確にし、計算方法を慎重に選ぶことが重要です。この問題では、赤球と白球が含まれる条件のもとで、黒球が含まれる確率を求める必要があり、正しい方法で計算すると1/4という答えが得られます。