リミット（極限）計算は、数式がある範囲でどのように振る舞うかを調べるために重要な手法です。質問の式「lim n→∞ (5・3^n + 2^(2n)) / (3^(n+2) + 7)」について、なぜ答えが∞（無限大）になるのかを解説します。ここでは、途中で「4^nで割る」という手順も含めて、計算過程を詳しく見ていきます。
極限計算の基本
極限計算では、ある変数（ここではn）が無限大に近づいたときに、式がどのように振る舞うかを調べます。式の中に無限大が含まれる場合、各項が無限大に発散するのか、収束するのかを考察します。この問題でも、nが無限大に近づくと、式の各項がどうなるのかを計算していきます。
まず、式の各部分を理解し、どの部分が無限大に近づくのかを確認することが重要です。
与えられた式の分析
問題文にある式は、次のように表されます。
lim n→∞ (5・3^n + 2^(2n)) / (3^(n+2) + 7)
式を見てみると、分子と分母にそれぞれ指数関数が含まれています。ここで注目すべき点は、nが無限大に近づくと、3^nと2^(2n)の項が非常に大きな値を取ることです。
分子と分母の重要な項
まず、分子「5・3^n + 2^(2n)」を見てみましょう。nが無限大になると、3^nが非常に大きな値になります。2^(2n)も指数関数ですが、3^nよりも成長が遅いため、最終的に支配的な項は3^nになります。このため、分子の主要な項は5・3^nとなります。
次に分母「3^(n+2) + 7」についてですが、これも3^nの項が支配的です。具体的には、3^(n+2)は3^nに比べて2つの指数が増えた分だけ大きくなりますが、最終的に支配的なのは3^(n+2)の項です。したがって、分母も3^(n+2)が支配的な項となります。
4^nで割る理由と結果
質問文で「4^nで割る」とありますが、これは計算過程の一部で、無限大の成長を比較するための手法です。4^nで割ると、式の成長率を調整し、無限大に発散する項がどう振る舞うかを見やすくする効果があります。
具体的には、式全体を4^nで割ると、指数関数同士を比較することができます。すると、3^nと4^nの比率が無限大に発散することが分かります。これにより、最終的な極限値は∞（無限大）となります。
まとめ
「lim n→∞ (5・3^n + 2^(2n)) / (3^(n+2) + 7)」の計算において、nが無限大に近づくと、分子と分母ともに指数関数が支配的な役割を果たします。3^nの項が最も大きな影響を与えるため、最終的な極限値は∞となります。4^nで割るという手法は、式を簡単にし、無限大に発散する項を比較するために使われます。これにより、答えが∞になる理由が理解できるでしょう。
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