微分の基本的な概念を学ぶとき、関数の微分値が0となる点は極値の候補となります。しかし、微分した関数f'(x) = 0 の解がどのように極値を示すか、またその解が1つのときと複数のときの違いについて理解することは少し難しいかもしれません。この記事では、そのメカニズムをわかりやすく解説します。
f'(x) = 0 とは何か？
関数f(x)の微分f'(x)が0になる点は、関数の変化の傾きがゼロである場所を示します。つまり、関数が増加から減少に転じる、またはその逆である可能性が高い場所です。この点を極値の候補として扱うことができますが、それが実際に極値であるかどうかを判断するためには、追加の条件を確認する必要があります。
f'(x) = 0 の解が存在する場合、その点が極値であるかどうかは、次のステップで検討されます。
判別式D>0 の場合：f'(x) = 0 の解が二つ以上
微分方程式f'(x) = 0の解が異なる二つの実数解を持つ場合（D > 0）、関数f(x)は極値を持つと言えます。この状況では、関数のグラフがある点で「谷」または「山」の形をしていることを意味しています。これは、グラフがその解で上下に切り替わるため、解が極値となるからです。
例えば、f(x) = x^3 – 3x + 2 のような関数の場合、微分してf'(x) = 3x^2 – 3 となります。これを解くと、x = 1 と x = -1 の二つの解が得られます。この点で、f(x)は極大または極小の形状を持ち、これが「極値」となります。
f'(x) = 0 の解が一つの場合はなぜ極値を持たないのか？
一方、f'(x) = 0 の解が1つしかない場合、その点が必ずしも極値を示すわけではありません。このような場合、関数f(x)のグラフはその点で単に傾きがゼロとなるだけで、グラフが上下に転換するわけではない可能性が高いです。
例えば、f(x) = x^2 の場合、f'(x) = 2x となり、f'(x) = 0 となるのはx = 0の一つの解だけです。この点で傾きはゼロになりますが、グラフは下に開いた放物線の頂点であり、x = 0は極値を持つ点ではありません。ここでは、単に関数が増加から増加に転じるだけで、極値とは言えません。
実際の判断方法：2次導関数テスト
極値が存在するかどうかを確実に確認するための方法として、2次導関数テストがあります。f'(x) = 0 の解が見つかったら、次にf”(x)（2回微分）を計算して、その符号を調べます。
– f”(x) > 0 の場合：f(x)は極小値を持つ（凸の形状）- f”(x) < 0 の場合：f(x)は極大値を持つ（凹の形状）
まとめ
f'(x) = 0 の解が二つ以上ある場合、関数は極値を持つと考えられます。その解が示すのは、関数が増加から減少に転じる点やその逆の点であるからです。しかし、解が一つだけの時は必ずしも極値ではなく、その点は傾きがゼロであるだけに過ぎません。極値が存在するかを判断するためには、2次導関数テストを用いるとより確実です。
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