今回の記事では、複素数を含む2次方程式の解法について解説します。特に、以下の2つの方程式を例に取り、どのように解くかを説明します。
問題1: x^2 + √2x + √2 + 1 = 0 の解法
まずは、x^2 + √2x + √2 + 1 = 0 の方程式を解いてみましょう。この方程式は、一般的な2次方程式の形式である ax^2 + bx + c = 0 に一致しています。解の公式を使用して解きます。
解の公式は以下の通りです。
x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a
ここで、a = 1、b = √2、c = √2 + 1 ですので、まずは判別式（b² – 4ac）を求めます。
判別式 = (√2)² – 4(1)(√2 + 1) = 2 – 4(√2 + 1) = 2 – 4√2 – 4 = -2 – 4√2
判別式が負の値であるため、この方程式は実数解を持たず、複素数解を持つことが分かります。
解は以下のように求められます。
x = (-√2 ± √(-2 – 4√2)) / 2
これにより、複素数解を得ることができます。
問題2: x^2 – √2x – √2 + 1 = 0 の解法
次に、x^2 – √2x – √2 + 1 = 0 の方程式を解きます。この方程式も同様に解の公式を使って解きます。
解の公式を適用すると、a = 1、b = -√2、c = -√2 + 1 です。判別式（b² – 4ac）を求めると。
判別式 = (-√2)² – 4(1)(-√2 + 1) = 2 – 4(-√2 + 1) = 2 + 4√2 – 4 = -2 + 4√2
この判別式は正の値であり、実数解が存在します。したがって、この方程式は実数解を持つことがわかります。
解は以下のように求められます。
x = (√2 ± √(-2 + 4√2)) / 2
このようにして、問題を解くことができます。
複素数解を含む2次方程式のポイント
2次方程式の解法において、判別式が負の値である場合、複素数解を求めることになります。解の公式を使う際は、判別式を必ず確認しましょう。判別式が正なら実数解が、負なら複素数解が求まります。
まとめ
2つの2次方程式を解く過程で、複素数解の求め方と判別式の重要性について理解することができました。複素数解を含む方程式は、実数解とは異なるアプローチを取る必要があり、解の公式と判別式を上手く活用することが解答への鍵となります。
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