y=2x² – 2x の最大値と最小値を求める方法

数学の問題で、「y=2x² – 2x (0 ≤ x ≤ a) の最大値、最小値、またそれぞれのxの値を求めなさい」という問題があります。この記事では、この問題を解くための手順を解説します。

式の整理と変形

まず、与えられた式 y=2x² – 2x を確認します。この式は、二次関数の形になっています。問題文には、y=2(x-1)² – 2 という形に変形したことが書かれているとのことですが、これは正しいです。

y=2(x-1)² – 2 という形にすることで、式が標準形になり、最大値や最小値を求めるために便利になります。

最小値の求め方

次に、この式を使って最小値を求めます。二次関数のグラフは、a > 0 の場合、下に凸の放物線になります。つまり、この関数の最小値は頂点で発生します。

y=2(x-1)² – 2 の場合、頂点は (x=1, y=-2) です。したがって、最小値は -2 であり、x=1 のときに達成されます。

最大値の求め方

次に最大値を求めます。x の範囲は 0 ≤ x ≤ a という条件があるので、この範囲内での最大値を求めます。範囲の端点である x=0 と x=a のときの y の値を計算します。

まず、x=0 のとき、y = 2(0-1)² – 2 = 2(1) – 2 = 0 です。次に、x=a のときの y は式に代入して計算できます。

まとめ

y=2x² – 2x の最大値と最小値を求める問題は、式を標準形 y=2(x-1)² – 2 に変形し、頂点で最小値を求め、その後、指定された範囲内での最大値を求める方法で解くことができます。x の範囲を考慮し、端点での値を計算することで、最大値を確認できます。