合成関数の微分は、微分の基本的なルールに基づいており、複雑に見えることがあります。特に「{f(g(x))}’」と「f'(g(x))」の違いについて疑問を持っている方も多いでしょう。本記事では、この違いをわかりやすく解説し、合成関数の微分を正しく理解するためのポイントを説明します。
合成関数の微分とは？
合成関数の微分は、2つ以上の関数が組み合わさった場合の微分です。例えば、f(x) と g(x) という2つの関数があったとき、その合成関数 f(g(x)) の微分を求めることを考えます。合成関数の微分は、連鎖律（チェーンルール）を使って計算します。
連鎖律は、合成関数を微分する際に、外側の関数を微分し、内側の関数の微分を掛け合わせる方法です。この方法を理解することで、合成関数の微分を簡単に求めることができます。
{f(g(x))}’ と f'(g(x)) の違い
「{f(g(x))}’」と「f'(g(x))」は、表記としては似ていますが、意味が異なります。まず、「{f(g(x))}’」は、f(g(x)) という合成関数を微分した結果を意味します。この場合、連鎖律に従って計算すると、f'(g(x)) と g'(x) を掛け算した式になります。
一方、「f'(g(x))」は、関数 f の導関数を g(x) に代入した形です。この式だけでは微分が完了していないので、g(x) の微分を掛ける必要があります。つまり、「{f(g(x))}’ = f'(g(x)) × g'(x)」という関係式が成立します。
合成関数の微分を実際に計算してみよう
具体的な例で計算してみましょう。例えば、f(x) = x² と g(x) = 3x + 1 の場合、合成関数 f(g(x)) を考えます。
まず、f(g(x)) = (3x + 1)² となります。この関数を微分すると、次のようになります。
{f(g(x))}’ = 2(3x + 1) × 3 = 6(3x + 1)
一方、f'(g(x)) は、f'(x) = 2x となるので、f'(g(x)) = 2(3x + 1) です。次に、g(x) の微分を掛けると。
f'(g(x)) × g'(x) = 2(3x + 1) × 3 = 6(3x + 1)
このように、両者は一致することが確認できます。
合成関数の微分における注意点
合成関数の微分を計算する際に重要なのは、連鎖律を正しく適用することです。{f(g(x))}’ の場合、g(x) の微分を掛けることを忘れないようにしましょう。また、f'(g(x)) を使う場合も、最終的に g'(x) を掛け合わせることが必要です。
これらのポイントをしっかり理解し、練習することで、合成関数の微分の計算がスムーズにできるようになります。
まとめ
合成関数の微分において、「{f(g(x))}’」と「f'(g(x))」の違いを理解することは重要です。両者の違いは、微分の最終結果にどのようにg(x) の微分を掛けるかにあります。連鎖律を正しく適用し、合成関数の微分をしっかりと計算できるようになりましょう。
今回の解説を参考に、さまざまな合成関数の微分を解く練習を重ねて、理解を深めていきましょう。
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