二次関数のグラフを扱う際、式の中に含まれる定数「a」がグラフの形にどのような影響を与えるのかを理解することが大切です。ここでは、y = x² – x + a + 1 の形の二次関数で、a の範囲を求める問題について解説します。特に、「a <= -3」という答えが導かれる過程を具体的に見ていきましょう。
問題の式と意味の理解
まず、問題に出ている式は「y = x² – x + a + 1」です。この式は標準的な二次関数の形に似ており、a は定数項としてグラフの位置を左右する役割を果たします。ここで求められるのは、a の値がどの範囲にあるとき、グラフにどのような変化が生じるのかという点です。
この式を見たとき、重要なのは、a の値によってグラフの位置が変わることです。特に、a の範囲によって、グラフがどのように上下に移動するかが決まります。
グラフの頂点とaの関係
二次関数のグラフは放物線であり、その頂点がどこに来るかが重要です。式を完成させるために、まずは「y = x² – x + a + 1」を頂点形式に変形してみましょう。
式「x² – x」を頂点形式に変換するために、平方完成を行います。平方完成をすると、式は次のように変わります。
平方完成の手順
平方完成の手順として、まずx² – x を (x – 1/2)² – 1/4 に変換します。したがって、元の式は次のようになります。
y = (x – 1/2)² – 1/4 + a + 1 となり、y = (x – 1/2)² + (a + 3/4) となります。
aの範囲の求め方
この形からわかるように、グラフの頂点は (1/2, a + 3/4) にあります。問題で求められているのは、グラフがy軸と交わる条件に関係するaの範囲です。y軸と交わるためには、頂点がx軸の上または下に位置する必要があり、y軸との交点が正の値になることが条件です。
そのため、a + 3/4 <= 0 の場合、y = 0 の解を持つことになります。これを解くと、a <= -3 という範囲が導かれます。
まとめ
この問題では、二次関数の頂点を求めるために平方完成を使用し、a の範囲を求めることができました。グラフがy軸と交わる条件を理解することで、a の範囲が a <= -3 であることがわかりました。二次関数のグラフとその変化に関する基本的な知識を応用することで、解答を得ることができます。
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