共通一次 数学② 第4問(2) – 数列の階差と一般項の求め方

共通一次試験の数学② 第4問(2)で登場する数列の階差と一般項の求め方について、特に太郎さんが提案した一般項の式「Cn = (pn + q) ・ 2ⁿ」に関する理解を深めるために、具体的な解法を解説します。ここでは、階差数列を用いた数列の一般項の求め方をわかりやすく説明します。

問題の概要と与えられた数列

まず、与えられた数列{dn}の和を求めるために、階差数列{cn}が求められます。階差数列{cn}とは、ある数列の各項を前の項と引いたものです。問題文では、{cn}の階差数列が{dn}となるものを求めるという課題が与えられています。

具体的には、{dn}の一般項が dn = (2n + 1) ・ 2ⁿ となることがわかっています。この場合、{cn}の階差数列が{dn}になるような数列{cn}の一般項を求めることが目的です。

階差数列から一般項を導出する方法

階差数列の定義を使って数列{cn}を求める方法について考えます。階差数列{cn}の定義から、{cn+1} – {cn} = dn が成り立ちます。したがって、dnの式を代入すると、

(2(n+1) + 1) ・ 2ⁿ+1 – (2n + 1) ・ 2ⁿ = (2n + 1) ・ 2ⁿ という式が得られます。ここから、{cn}の一般項を求めるために、右辺と左辺を整理していきます。

一般項Cn = (pn + q) ・ 2ⁿ の導出

次に、{cn}の一般項をどのようにして求めるかを考えます。太郎さんが提案したように、{cn}の一般項が Cn = (pn + q) ・ 2ⁿ の形で表せるのではないかと考えます。この形を使うと、{cn+1} – {cn} を計算したときに、{dn}と一致することが確認できます。

実際に{cn} = (pn + q) ・ 2ⁿ と仮定し、階差を求めると、(p(n+1) + q) ・ 2ⁿ+1 – (pn + q) ・ 2ⁿ の式が得られます。これを整理すると、{dn}の一般項 (2n + 1) ・ 2ⁿ と一致することがわかります。このようにして、{cn}の一般項は Cn = (pn + q) ・ 2ⁿ の形に表せることが確認できました。

まとめと考察

今回の問題では、数列{cn}の一般項を階差数列を利用して求める方法を解説しました。階差数列の定義をしっかり理解し、適切な一般項の形を見つけ出すことが解法のカギとなります。太郎さんが考えたように、一般項を (pn + q) ・ 2ⁿ と表すことで、{dn}を階差数列として得ることができることがわかりました。