一次不定方程式の解法と互除法を使った問題の解き方

一次不定方程式を解く方法として、互除法を使う方法を解説します。ここでは、具体的な問題を解きながら、どう進めるかを詳しく見ていきます。

問題の確認

与えられた問題は、次の一次不定方程式を満たす整数x, yの組を求めるものです。

これらの問題を互除法を使って解いていきます。

互除法は、最大公約数を求めるための方法で、方程式を解くためにも利用します。最初に、与えられた2つの数の最大公約数（GCD）を求め、そのGCDが1である場合、整数解が存在することがわかります。最大公約数を求めた後、逆算して整数解を求めます。

最初に、24と19の最大公約数を求めます。24 ÷ 19 = 1（商1）余り5、次に19 ÷ 5 = 3（商3）余り4、そして5 ÷ 4 = 1（商1）余り1となり、最終的に最大公約数が1であることがわかります。この後、逆算して整数解を求めます。

逆算すると、x = 4, y = -5となり、解はx = 4, y = -5です。

次に63と44の最大公約数を求めます。63 ÷ 44 = 1（商1）余り19、44 ÷ 19 = 2（商2）余り6、19 ÷ 6 = 3（商3）余り1となり、最大公約数が1であることが確認できます。

この後、逆算してx = 14, y = -20となります。したがって、解はx = 14, y = -20です。

95と28の最大公約数を求めます。95 ÷ 28 = 3（商3）余り11、28 ÷ 11 = 2（商2）余り6、11 ÷ 6 = 1（商1）余り5、6 ÷ 5 = 1（商1）余り1となり、最大公約数が1であることが確認できます。

逆算すると、x = -5, y = -17となります。したがって、解はx = -5, y = -17です。

最後に、141と52の最大公約数を求めます。141 ÷ 52 = 2（商2）余り37、52 ÷ 37 = 1（商1）余り15、37 ÷ 15 = 2（商2）余り7、15 ÷ 7 = 2（商2）余り1となり、最大公約数が1であることが確認できます。

この後、逆算してx = -28, y = -76となり、解はx = -28, y = -76です。

このように、一次不定方程式を解くためには、互除法を使って最大公約数を求め、その後逆算して解を求めます。例題を解きながら、方法を理解することができます。