f(θ) = 0 の解の個数を求める方法とその解説

この問題では、与えられた式f(θ) = 0の解の個数を求める方法について解説します。問題文には式f(θ)が与えられており、その解を求めるためには、まず式を整理し、適切な手法で解を導く必要があります。ここでは具体的な手順を追いながら、解き方の流れを解説します。

問題文の整理と式の変換

まず、与えられた式f(θ) = a(√3sinθ – cosθ) – (√3sin2θ + cos2θ) + a + 1を整理します。この式を分解していくと、次のように書き換えることができます。

t = √3sinθ – cosθ と置き、式を t² = -2√3sinθcosθ + 2sin²θ + 1 に変換し、さらに t² – 2 = -2√3sinθcosθ + 2sin²θ – 1 となります。次に、この式を解くための手順を順を追って説明します。

式の変形と解法

式をさらに整理し、tとθの関係を導くことで、最終的な解を求めます。式を変形する際、tの値が-2≦t≦2の範囲に収束することに注意し、さらに t = -1 や t = 2 の場合にそれぞれ解がいくつかあることを確認します。

具体的には、t = -2、t = 2の場合には解が1個、t = -1の場合には解が3個、-2 < t < -1、-1 < t < 2の場合には解が2個になることがわかります。

グラフの傾きとaの範囲

次に、式f(t) = t² + at + a – 1 = 0を使って、aの値による解の個数の変化を分析します。aの範囲を調べることで、解が何個になるかを判断します。具体的には、a = -1、a = 3の場合に解が4個、a = 2の場合に解が3個、-1 < a < 2 または 2 < a < 3 の範囲で解が5個となることがわかります。

まとめ

問題の解法では、まず式を整理し、tとθの関係を求めることが重要でした。また、aの範囲を調べることで解の個数を確定することができました。解の個数はaの値によって変化し、a = -1、a = 3、a = 2の場合に解が3個、a = -1、a = 3の場合に解が4個、-1 < a < 2 または 2 < a < 3 の範囲で解が5個となります。