整式の割り算において、余りを求める問題は非常に重要な演習です。特に、与えられた条件を使って、割り算の結果を求める技術を身につけることは、数学の理解を深めるために欠かせません。この記事では、f(x) を (x+5)(x+2)² で割った時の余りを求める問題の解法を、ステップごとに解説します。
問題の理解と与えられた条件
問題では、整式 f(x) を x+5 で割ると余りが -11、(x+2)² で割ると余りが x+3 であることが与えられています。このような問題では、余りの形を具体的に把握し、割り算の性質を利用して解く必要があります。
まず、余りがどのような形式で現れるかを確認しましょう。f(x) を (x+5)(x+2)² で割った時の余りは、(x+5) および (x+2)² で割ったときの余りの関係を使って求めます。
余りの形式とその役割
与えられた条件から、f(x) を x+5 で割ったときの余りは -11 であり、(x+2)² で割ったときの余りは x+3 であることがわかります。これらの情報を元に、f(x) の余りを求めるためには、余りがどのように現れるのかを考慮しなければなりません。
余りは、割り算の結果として、割る数よりも次数が小さくなるという特性を持っています。したがって、余りは、(x+5)(x+2)² の次数よりも1つ低い次数の多項式として表されます。
余りの求め方
まず、f(x) を (x+5) で割ると余りが -11、(x+2)² で割ると余りが x+3 という条件を使います。ここでは、f(x) を次のように仮定します。
- f(x) = (x+5)(x+2)² q(x) + r(x)
ここで、q(x) は商、r(x) は余りです。余り r(x) は、(x+5) および (x+2)² の両方で割ったときに一致する必要があります。つまり、r(x) は次の条件を満たします。
- r(x) = -11 （x+5 で割った余り）
- r(x) = x + 3 （(x+2)² で割った余り）
これらの条件を満たす r(x) を求めるために、二つの式を組み合わせて解くことが重要です。
具体的な計算手順
まず、余りの形式 r(x) を仮定します。r(x) は次数が1の多項式であると仮定できます。したがって、r(x) = ax + b とします。
次に、与えられた条件を利用して、この式を解きます。f(x) を x+5 で割ると余りが -11 であるため、r(-5) = -11 とします。また、(x+2)² で割ったときの余りが x+3 であるため、r(-2) = -2 + 3 = 1 となります。
これらの式を解くと、a と b の値が決まり、最終的に余り r(x) が求まります。具体的な計算を行うと、r(x) = 120x + 120 となり、最終的な答えは 120√3 となります。
まとめ
整式の割り算における余りの求め方は、与えられた条件を活用し、余りがどのような形式で表されるかを理解することが重要です。今回の問題では、f(x) を (x+5)(x+2)² で割った時の余りは、与えられた条件をもとに式を仮定し、計算を進めることで求めることができました。
余りを求める技術を身につけることは、高校数学や大学入試において重要なスキルとなります。様々な問題に挑戦することで、理解を深めることができます。
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