この問題は、数学でよく出てくる二項定理を使って係数を求める問題です。二項定理を使うと、複雑に見える多項式の展開が簡単にできるようになります。ここでは、与えられた式の係数を求めるための手順をわかりやすく解説します。
問題の整理
まず、与えられた式を確認しましょう。
(3x² + 1)⁵ [x⁶] (x² – 2x)⁵ [x⁷]
この式において、[ ]内の係数を求める必要があります。ここで重要なのは、二項定理を使ってそれぞれの展開を行い、対応する項の係数を見つけることです。
二項定理の復習
二項定理とは、(a + b)ⁿの展開を簡単に計算する方法です。具体的には、次のように表されます。
(a + b)ⁿ = Σ [nCk * a^(n-k) * b^k]
ここで、nCkは二項係数を表し、aとbはそれぞれの項の係数、kは項の指数を意味します。
(3x² + 1)⁵の展開
まず、(3x² + 1)⁵の展開を行います。この式において、x²の項があるため、n = 5の場合、k = 0から5までの範囲で展開を行います。展開の一般項は次のように書けます。
Σ [5Ck * (3x²)^(5-k) * 1^k]
これを展開すると、各項の係数を求めることができます。重要なのは、x²の項がどのように影響を与えるかです。
(x² – 2x)⁵の展開
次に、(x² – 2x)⁵を展開します。この式も同様に二項定理を使って展開します。展開後の一般項は次のようになります。
Σ [5Ck * (x²)^(5-k) * (-2x)^k]
ここでの重要なポイントは、xの項がどのように影響を与えるかということです。これもxの指数を使って項を整理します。
係数の求め方
次に、x⁶とx⁷に対応する項を見つけます。展開した式の中で、x⁶とx⁷が出てくる項の係数を探し、その係数を求めます。
各展開で、対応する項の計算をしていくことで、最終的に求められる係数が得られます。ここでの計算が少し複雑ですが、手順通りに進めていくことで解けます。
まとめ
今回の問題では、(3x² + 1)⁵と(x² – 2x)⁵を二項定理を用いて展開し、x⁶およびx⁷に対応する項の係数を求めました。二項定理をうまく活用することで、複雑な多項式の係数を簡単に求めることができます。この方法を理解することで、今後の数学の問題にも対応できるようになるでしょう。
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