微分方程式 4xy'' + 4ny' + y = 0 の解法とステップ解説

今回は微分方程式 4xy” + 4ny’ + y = 0 の解法をステップごとに解説します。この方程式は線形二階微分方程式であり、変数分離や特殊関数を用いて解くことができます。理解のために一般解の導出手順を示します。

ステップ1：標準形への変形

与えられた式を y” + (n/x)y’ + (1/4x)y = 0 の形に書き換えると扱いやすくなります。

この種の方程式は、x のべき乗を仮定する形 y = x^m を代入して解を求める方法が一般的です。

y = x^m とすると、y’ = m x^{m-1}, y” = m(m-1)x^{m-2} となります。これを方程式に代入します。

4x [m(m-1)x^{m-2}] + 4n [m x^{m-1}] + x^m = 0

展開すると、4m(m-1)x^{m-1} + 4nm x^{m-1} + x^m = 0 となり、x^{m-1} でくくると 4m(m-1 + n)x^{m-1} + x^m = 0 となります。

上式を整理すると、方程式は特性方程式の形になり、m に関する二次方程式として解くことができます。この方程式の解 m_1, m_2 によって、一般解は。

y(x) = C_1 x^{m_1} + C_2 x^{m_2}

となります。ここで C_1, C_2 は任意定数です。

・方程式 4xy” + 4ny’ + y = 0 は、べき乗 y = x^m を試すことで解けます。
・代入により特性方程式を作り、解を求めることで一般解が得られます。
・最終的な解は y(x) = C_1 x^{m_1} + C_2 x^{m_2} で表されます。