O を原点とする xy 平面上の直線 l に接する円の中心 P の軌跡を求める方法

この問題では、O を原点とする xy 平面上に直線 l: y = 1/2 が与えられ、O を通り、l に接する円の中心 P の軌跡を求めるという課題です。円の接線の性質を利用して、P の軌跡を求める方法を段階的に解説します。

問題の整理と円の接線の性質

まず、問題の内容を整理しましょう。直線 l: y = 1/2 は y 軸の値が常に 1/2 の位置にある水平な直線です。O は原点 (0, 0) で、この点 O を通り、直線 l に接する円が存在します。円が直線に接するということは、その接点で円の半径が直線の法線方向に垂直であることを意味します。

円の中心 P の座標は、この接線の法線方向に沿った位置にあると考えます。この円の中心 P を求めるために、まず円の方程式を設定し、その後、接線と円が接する条件を利用します。

円の方程式と接点の条件

円の一般的な方程式は次のように表されます。

(x – h)² + (y – k)² = r²

ここで、(h, k) は円の中心 P の座標で、r は円の半径です。この円が直線 y = 1/2 に接するということは、円の中心から直線までの距離が円の半径と等しいことを意味します。

直線 y = 1/2 から点 (h, k) までの距離は、垂直な距離であり、次の式で表されます。

距離 = |k – 1/2|

したがって、この距離が円の半径 r と等しくなければなりません。したがって、次の関係式が成り立ちます。

r = |k – 1/2|

円の中心 P の軌跡の導出

ここまでで、円の中心 P のy座標 k と半径 r との関係がわかりました。次に、円の中心が O を通るという条件を使います。円の中心 P が O を通るとは、P の位置が原点から直線的にOを含むように動くことを意味します。

円の中心が O を通るためには、x座標 h が 0 である必要があります。したがって、P の x 座標は常に 0 となります。

これにより、円の中心 P の軌跡は、x = 0 となり、y 座標は k = 1/2 を中心として変化することがわかります。具体的には、P の軌跡は垂直線 x = 0 の周りにy座標 k が変化する線になります。

まとめ

この問題では、O を原点とする xy 平面上に直線 l: y = 1/2 があり、O を通り直線 l に接する円の中心 P の軌跡を求めるという課題でした。円の接線の性質を使い、円の中心 P の座標を求め、最終的にその軌跡は垂直線 x = 0 であり、y 座標が 1/2 から変動することがわかりました。