積和の公式の証明と加法定理を使った解説

積和の公式に関する証明は、三角関数を学ぶ上でとても重要です。この問題では、与えられた式sinαsinβ＝-1/2(cos(α+β)-sin(α-β))の証明について、どのように導出するかを説明します。

問題の設定

まず、次の式を証明したいという問題です。

sinαsinβ＝-1/2(cos(α+β)-sin(α-β))

これを証明するためには、加法定理を活用します。加法定理とは、三角関数の加法公式のことで、cos(α±β)やsin(α±β)の形を変換する際に役立ちます。

まず、加法定理を使ってcos(α+β)とcos(α-β)を分解していきます。加法定理により、以下のように書き換えることができます。

cos(α+β) = cosαcosβ – sinαsinβ

cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ

次に、cos(α+β) – cos(α-β)を計算します。

cos(α+β) – cos(α-β) = (cosαcosβ – sinαsinβ) – (cosαcosβ + sinαsinβ)

この式を整理すると、次のようになります。

cos(α+β) – cos(α-β) = -2sinαsinβ

ここで重要なのは、右辺が-2sinαsinβとなる点です。

この結果を利用して、元の式に戻します。

cos(α+β) – cos(α-β) = -2sinαsinβの両辺を-1/2で割ると、次のようになります。

-1/2(cos(α+β) – cos(α-β)) = sinαsinβ

したがって、最初に示した式が成立します。

具体的な例を挙げて、実際に式がどのように適用されるかを確認すると、より理解が深まります。例えば、α=30°, β=45°の場合、sin(30°)sin(45°)の計算と、-1/2(cos(30°+45°)-sin(30°-45°))を比較してみると、両方の結果が一致します。

積和の公式の証明は、加法定理を使うことで簡単に導くことができます。今回の証明を通して、三角関数の加法定理の重要性と、その応用方法が理解できたのではないでしょうか。積和の公式を使いこなすことが、三角関数の問題を解く上で非常に役立ちます。